比较1/(2^2)+1/(3^3)+......+1/(2014^2014)与1的大小

发布时间：2020-09-09

我们知道: 1/2²≤1/1*2=1-1/2 1/3²≤1/2*3=1/2-1/3 1/3²≤1/3*4=1/3-1/4 ……………… 1/2009²≤1/2008*2009=1/2008-1/2009 +1/2008^2+1/2009^2 ≤ 。解:原式=[(1+2^2)/2]+[(1+3^2)/3]+[(1+4^2)/4]+[(1+5^2)/5]+……+[(1+2014^2)/2014] =(2+3+4+5+……+2014)+(1/2)+(1/3)+(1/4)+(1/5)+……+(1/2014) =[2013*2+(2013*2012/2]+(ln2015-1) =2013*3019-1+ln2015) =6077246+7.61 =6077253.61 。 +1/2014-1/2015 =1-1/2015 =2014/2015。有:n^2-(n+1)^2=[n+(n+1)]×[n-(n+1)];所以其中的每个式子都变成了 n-(n+1)=-1;比如:(2013^2-2014^2)/(2013+2014)=(2013+2014)×(2013-2014)/(2013+2014) = 2013-2014 = -1; 因此:所有的式子可以化简成:-1;。
可以用缩放法。2014×2015/1 你写反了。(1-1/2^2)(1-1/3^2)(1-1/4^2)…(1-1/2013^2)(1-1/2014^2) =(1+1/2)(1-1/2)(1+1/3)(1-1/3)(1+1/4)(1-1/4)……(1+1/2013)(1-1/2013)(1+1/2014)(1-1/2014) =3/2x4/3x5/4x……x2014/2013x2015/2014x1/2x2/3x3/4x……x2012/2013x2013/2014 。1/[(n-1)n(n+1)]=1/2*[(n+1)-(n-1)]/[(n-1)n(n+1)]=1/2*{[1/(n-1)n]-1/n(n+1)} +1/2012*2013-1/2013*2014] =1/2*[1/1*2-1/2013*2014]。(-1)^2011+(-1)^2012+(-2^2+3)^2014·/1 =-1+1+1 =1。
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